Le pythagorisme: les nombres face au réel

Les pythagoriciens constituaient une sorte de secte du VI^e siècle avant notre ère. Vouant une vénération aux mathématiques, ils avaient pris pour élément constitutif de toute chose le nombre. Pour eux, les nombres se retrouvaient partout dans la réalité et ils étaient à la base de la constitution de tous les objets. Ce point de vue a gardé certains adeptes notables à travers l'histoire comme Johannes Kepler. Cependant, à l'heure actuelle, les mathématiciens préfèrent considérer le nombre comme une entité abstraite n'ayant que peu de liens avec le réel. Ceci nous conduit à nous interroger : Quelle est l'origine exacte de la notion de nombre ? Peut-on véritablement exclure tout rapport avec le réel comme le font les mathématiciens ou alors faut-il voir les choses dans la perspective des pythagoriciens ? La réponse semble difficile à apporter. Cependant, on peut facilement trouver des objections aux deux points de vue.

Analysons l'idée que les mathématiques sont à détacher du réel. Si tel est le cas, d'où viendraient leurs concepts ? Seraient-ils simplement issus d'une invention sans lien aucun avec le réel ou alors y a-t-il une existence propre des mathématiques ? Dans tous les cas, on constate que les concepts mathématiques peuvent être rapprochés de la réalité et d'expériences sensibles. Les notions de nombre ou de fonction peuvent se retrouver dans le réel perceptible directement. Le nombre un peut être vu comme la présence d'un type d'objet en l'absence de tout autre. Le zéro peut être conçu comme l'absence d'objet. De même, le concept de fonction est proche des relations qui lient des éléments entre eux et intervient dans les inférences logiques qui sont faites dans la vie de tous les jours. Par exemple, le temps est fonction de la saison. On constate cependant que ces « fonctions » sont nettement moins exactes que leurs homologues mathématiques. Dès lors, on peut se demander si les concepts mathématiques ne dérivent pas simplement de ces réalités sensibles qui auraient été simplifiées pour être rendues plus exactes et plus faciles à manipuler. En effet, il est bien plus exacte et plus simple d'utiliser une fonction mathématique du type f(x)=x²+2 que n'importe quelle « fonction » du réel, il est plus simple de déterminer quand cette fonction prendra des valeurs spécifiques que de déterminer avec exactitude si le temps sera beau demain. Nombre de concepts mathématiques sembleraient donc dériver des réalités sensibles, les exemples sont légion, on pourrait citer les matrices, qui ne sont finalement que des tableaux servant à ranger des nombres désignant des éléments, une matrice pourrait être vue comme une bibliothèque bien rangée dans laquelle les livres seraient désignés par des nombres. La question deviendrait donc : Avons-nous inventé les mathématiques comme outil de description de la nature ou n'avons-nous fait que décrire une partie de la nature ?

Penchons-nous désormais sur la perspective pythagoricienne. Les nombres seraient les constituants du réel. Mais, que sont exactement les nombres ? Peut-on encore dire qu'il s'agit d'éléments du réel quand ils en sont extraits et qu'on en fait des éléments abstraits et parfaits ? Ainsi, les formes géométriques parfaites conçues par les pythagoriciens sont-elles encore des formes du réel ? Peut-on dire qu'il existe réellement un cercle ou alors n'y a-t-il que des formes dérivées du cercle et beaucoup plus imparfaites ? Les pythagoriciens considéraient que le monde supralunaire était parfait et que les mouvements des astres étaient parfaitement réguliers. On sait aujourd'hui qu'il n'en est rien. Même si on pouvait imaginer un monde si parfait, rien ne prouverait qu'il existe et si les pythagoriciens pensaient que le monde supralunaire était parfait et régulier, c'est parce que leurs connaissances à ce propos étaient limitées. Jusqu'ici, il n'a pas été possible de trouver d'éléments parfaitement réguliers, peut-être est-ce dû au fait que notre définition de la régularité ne colle pas bien à la nature ? Ou alors peut-être sommes-nous encore trop ignorants pour déterminer ce qu'est vraiment la régularité ? Peut-être que nos capacités mentales sont encore insuffisantes que pour donner une définition de la régularité qui correspondrait mieux à la nature ?

Tout cela nous laisse penser qu'il doit exister un lien entre mathématiques et réalité. Les mathématiques telles que nous les connaissons nous sont-elles fournies par la nature ou ne sont-elles que la forme d'une réalité que nous ne pouvons percevoir autrement ?